라그랑주 네 제곱수 정리와 페르마 두 제곱수 정리는 덧셈적 정수론의 문제로, 정수의 제곱수의 합으로 어떤 정수들을 표현할 수 있는지 기술한다. 라그랑주 네 제곱수 정리는 모든 양의 정수는 정수의 제곱수 네 개의 합으로 나타날 수 있다는 정리이고, 페르마 두 제곱수 정리는 어떤 소수 가 정수의 제곱수 두 개의 합으로 나타난다는 것과 또는 가 동치라는 명제이다. 이 포스트에서는 정수의 제곱수 세 개의 합으로 나타나는 정수는 어떤 형태인지 확인할 것이다.
르장드르 세 제곱수 정리는, 꼴이 아닌 양의 정수는 정수의 제곱수 세 개의 합으로 나타난다는 정리이다. 명제의 역은 비교적 자명하다. 꼴의 정수를 세 개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있어, 정수 에 대해 이라고 가정하자. 가 로 나누어진다는 사실은 법 4에 대해 방정식을 관찰함으로써 어렵지 않게 보일 수 있고, 정수 에 대해 이므로 모순이다. [1]을 따라 르장드르 세 제곱수 정리를 증명하여 보자. 논문에서는 독자가 이차상호성과, 볼록 집합의 격자점에 관한 민코프스키 정리를 알고 있다고 가정한다. 또한 어떤 수가 제곱수 두 개의 합으로 나타내어지는지에 대해서도 알고 있어야 한다.
양의 정수 이 의 꼴이 아니라고 하자. 제곱수들의 합으로 을 표현하고 싶으므로, 은 제곱인수가 없는 수라고 가정해도 무방하다. 우선 을 가정하고 문제를 해결하여 볼 것이다. 을 소인수분해하여 와 같이 쓰자. 는 소수이다.
다음을 만족하는 소수 를 생각할 것이다:
에 대해 ,
.
는 야코비 기호Jacobi Symbol이다. 이러한 소수 는 등차수열에 관한 디리클레 정리에 의해 존재한다. 과 위의 조건을 모두 만족하는 나머지 모임 을 선택하면 둘은 서로소이므로, 수열 에는 무한히 많은 소수가 존재한다. 소수들 중 하나를 뽑아 라고 하자.
위의 조건과 임을 이용하면 아래 등식들이 성립함을 보일 수 있다.
이므로 이다. 이므로 이다. 따라서 를 만족하는 홀수 를 찾을 수 있다. 즉, 다음 방정식의 해가 존재한다.
이 등식을 법 4에 대해 고려하면 이므로 는 4의 배수이다. 한편, 조건에 의해 이다. 따라서 을 만족하는 정수 가 존재한다.
잠시 다른 이야기로 넘어가서, 다음과 같은 입체 와 좌표변환을 생각하자.
좌표 공간에서 입체 는 구이므로 부피는 이다. 이 좌표변환은 단지 괴상한 계수들을 가진 일차변환이고, 이 변환의 판별식은 이다. 는 판별식에 영향을 주지 않았으므로 의 선택은 이 단계에서 크게 영향을 주지 않는다. 따라서 좌표 공간에서 입체 의 부피는 이다. 는 원점 대칭인 볼록 집합이고, 이의 부피는 8보다 크다. 민코프스키 정리의 조건이 완벽하게 들어맞는다.
민코프스키 정리에 의해, 는 이 아닌 격자점 를 포함한다. 를 에 포함되는 정수격자점이라고 하고, 를 각각 좌표변환을 통해 에 대응되는 값이라고 하자. 좌표변환에 사용된 식을 그대로 대입하여 보면:
첫 번째 합동은 에 관한 항을 적당히 빼어줌으로써 성립한다. 마지막 합동은 의 선택에 의해 성립한다.
가 정수로 나타남을 보이자. 그냥 전개하여 보면 얻을 수 있는 결과이다:
는 양의 정수이다. 이때, 이고, 이었으므로 이다.
는 제곱수 두 개의 합으로 나타남을 보일 것이다. 를 정확히 홀수 번 나누는 홀수 소수를 라고 하자. 가 을 나누지 않으면, 이므로 이다. 이다. 이면, 이 등식으로부터 이다. 이면, 어떤 정수 에 대해 는 로 홀수 번 나누어진다. 를 적당히 로 나누어서 법 에 대해 0이 아닌 정수를 얻을 수 있고, 이는 을 의미한다. 두 경우 모두 이다. 과 애 의해 이고, 따라서 .
가 을 나눈다고 가정하자. 이므로, 는 , 을 나눈다. 은 제곱 인수를 갖지 않으므로, 양변을 로 나누면 이다. 따라서 이다. 가장 위에서 다루었던 조건인 을 사용하면, 이고 따라서 .
를 홀수 번 나누는 홀수 소수는 모두 법 4에 대해 1과 합동이므로, 는 제곱수 두 개의 합으로 나타내어진다. 르장드르 세 제곱수 정리가 인 양의 정수에 대해 증명되었다.
다른 나머지를 가질 때
일 때에도, 위의 증명과 크게 다르지 않은 방법으로 증명할 수 있다. 을 나누는 모든 홀수 소수 에 대해 이고, 인 소수 를 잡는다. 이 짝수일 경우, 이라고 할 때, 를 추가로 만족시키도록 를 잡자. 인 홀수 를 잡고, 을 만족하는 를 잡는다. 그리고 좌표변환
를 이용하면, 같은 방법으로 르장드르 세 제곱수 정리를 증명할 수 있다. 따라서 모든 제곱인수가 없는 양의 정수가 꼴이 아니라면 제곱수 세 개의 합으로 나타낼 수 있다.
