Legendre's three-square theorem

August 18, 2020

르장드르 세 제곱수 정리

라그랑주 네 제곱수 정리와 페르마 두 제곱수 정리는 덧셈적 정수론의 문제로, 정수의 제곱수의 합으로 어떤 정수들을 표현할 수 있는지 기술한다. 라그랑주 네 제곱수 정리는 모든 양의 정수는 정수의 제곱수 네 개의 합으로 나타날 수 있다는 정리이고, 페르마 두 제곱수 정리는 어떤 소수 pp가 정수의 제곱수 두 개의 합으로 나타난다는 것과 p=2p = 2 또는 p1(mod4)p \equiv 1 \pmod{4}가 동치라는 명제이다. 이 포스트에서는 정수의 제곱수 세 개의 합으로 나타나는 정수는 어떤 형태인지 확인할 것이다.

르장드르 세 제곱수 정리는, 4a(8n+7)4^a (8n + 7) 꼴이 아닌 양의 정수는 정수의 제곱수 세 개의 합으로 나타난다는 정리이다. 명제의 역은 비교적 자명하다. 4a(8n+7)4^a (8n + 7) 꼴의 정수를 세 개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있어, 정수 x,y,zx, y, z에 대해 x2+y2+z2=4a(8n+7)x^2 + y^2 + z^2 = 4^a (8n + 7)이라고 가정하자. x,y,zx, y, z2a2^a로 나누어진다는 사실은 법 4에 대해 방정식을 관찰함으로써 어렵지 않게 보일 수 있고, 정수 s=x/2a,t=y/2a,u=z/2as = x/2^a, t = y/2^a, u = z/2^a에 대해 s2+t2+u2≢7(mod8)s^2 + t^2 + u^2 \not\equiv 7 \pmod{8}이므로 모순이다. [1]을 따라 르장드르 세 제곱수 정리를 증명하여 보자. 논문에서는 독자가 이차상호성과, 볼록 집합의 격자점에 관한 민코프스키 정리를 알고 있다고 가정한다. 또한 어떤 수가 제곱수 두 개의 합으로 나타내어지는지에 대해서도 알고 있어야 한다.

양의 정수 mm4a(8n+7)4^a (8n + 7)의 꼴이 아니라고 하자. 제곱수들의 합으로 mm을 표현하고 싶으므로, mm은 제곱인수가 없는 수라고 가정해도 무방하다. 우선 m3(mod8)m \equiv 3 \pmod{8}을 가정하고 문제를 해결하여 볼 것이다. mm을 소인수분해하여 m=p1p2prm = p_1 p_2 \cdots p_r와 같이 쓰자. pip_i는 소수이다.

다음을 만족하는 소수 qq를 생각할 것이다:

  • i{1,2,,r}i \in \{1, 2, \dots, r\}에 대해 (2q/pi)=+1(-2q/p_i) = +1,
  • q1(mod4)q \equiv 1 \pmod{4}.

(a/b)(a/b)는 야코비 기호Jacobi Symbol이다. 이러한 소수 qq는 등차수열에 관한 디리클레 정리에 의해 존재한다. 4m4m과 위의 조건을 모두 만족하는 나머지 모임 rr을 선택하면 둘은 서로소이므로, 수열 4mt+r,t=1,2,4mt + r, t = 1, 2, \cdots에는 무한히 많은 소수가 존재한다. 소수들 중 하나를 뽑아 qq라고 하자.

위의 조건과 m3(mod8)m \equiv 3 \pmod{8}임을 이용하면 아래 등식들이 성립함을 보일 수 있다.

1=i=1r(2q/pi)=i=1r(2/pi)(q/pi)=(2/m)i=1r(pi/q)=(2/m)(m/q)=(2/m)(m/q)=(m/q)\begin{align*} 1 & = \prod_{i = 1}^r (-2q/p_i) = \prod_{i = 1}^r (-2/p_i)(q/p_i) \\ & = (-2/m) \prod_{i = 1}^r (p_i/q) \\ & = (-2/m)(m/q) = (-2/m)(-m/q) \\ & = (-m/q) \end{align*}

q1(mod4)q \equiv 1 \pmod{4}이므로 (1/q)=1(-1/q) = 1이다. m3(mod8)m \equiv 3 \pmod{8} 이므로 (2/m)=1(-2/m) = 1이다. 따라서 b2m(modq)b^2 \equiv -m \pmod{q}를 만족하는 홀수 bb를 찾을 수 있다. 즉, 다음 방정식의 해가 존재한다.

b2qh1=m.b^2 - q h_1 = -m.

이 등식을 법 4에 대해 고려하면 1h11(mod4)1 - h_1 \equiv 1 \pmod{4}이므로 h1=4hh_1 = 4h는 4의 배수이다. 한편, (2q/pi)=1(-2q/p_i) = 1 조건에 의해 (2q/m)=1(-2q/m) = 1이다. 따라서 t21/2q(modm)t^2 \equiv -1/2q \pmod{m}을 만족하는 정수 tt가 존재한다.

잠시 다른 이야기로 넘어가서, 다음과 같은 입체 KK와 좌표변환을 생각하자. K:R2+S2+T2<2mK: R^2 + S^2 + T^2 < 2m

R=2tqx+tby+mz,S=(2q)1/2x+b/(2q)1/2y,T=m1/2/(2q)1/2y\begin{align*} R & = 2tqx + tby + mz, \\ S & = (2q)^{1/2} x + b/(2q)^{1/2} y, \\ T & = m^{1/2}/(2q)^{1/2} y \end{align*}

(R,S,T)(R, S, T) 좌표 공간에서 입체 KK는 구이므로 부피는 4/3(2m)3/24/3(2m)^{3/2}이다. 이 좌표변환은 단지 괴상한 계수들을 가진 일차변환이고, 이 변환의 판별식은 m3/2m^{3/2}이다. tt는 판별식에 영향을 주지 않았으므로 tt의 선택은 이 단계에서 크게 영향을 주지 않는다. 따라서 (x,y,z)(x, y, z) 좌표 공간에서 입체 KK의 부피는 1/3(27/2π)1/3 (2^{7/2} \pi)이다. KK는 원점 대칭인 볼록 집합이고, 이의 부피는 8보다 크다. 민코프스키 정리의 조건이 완벽하게 들어맞는다.

민코프스키 정리에 의해, KK(0,0,0)(0, 0, 0)이 아닌 격자점 (x,y,z)(x, y, z)를 포함한다. (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1)KK에 포함되는 정수격자점이라고 하고, R1,S1,T1R_1, S_1, T_1를 각각 좌표변환을 통해 (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1)에 대응되는 R,S,TR, S, T 값이라고 하자. 좌표변환에 사용된 식을 그대로 대입하여 보면:

R12+S12+T12=(2tqx1+tby1+mz1)2+((2q)1/2x1+b(2q)1/2y1)2+(m1/2(2q)1/2y1)2t2(2qx1+by1)2+12q(2qx1+by1)20(modm).\begin{align*} R_1^2 + S_1^2 + T_1^2 & = (2tqx_1 + tby_1 + mz_1)^2 + \left( (2q)^{1/2} x_1 + \frac{b}{(2q)^{1/2}} y_1 \right)^2 + \left( \frac{m^{1/2}}{(2q)^{1/2}}y_1 \right)^2 \\ & \equiv t^2 (2qx_1 + by_1)^2 + \frac{1}{2q} (2qx_1 + by_1)^2 \\ & \equiv 0 \pmod{m}. \end{align*}

첫 번째 합동은 mm에 관한 항을 적당히 빼어줌으로써 성립한다. 마지막 합동은 tt의 선택에 의해 성립한다.

S12+T12S_1^2 + T_1^2가 정수로 나타남을 보이자. 그냥 전개하여 보면 얻을 수 있는 결과이다:

S12+T12=((2q)1/2x1+b(2q)1/2y1)2+(m1/2(2q)1/2y1)2=12q(2qx1+by1)2+m2qy12=2(qx12+bx1y1+hy12).\begin{align*} S_1^2 + T_1^2 & = \left( (2q)^{1/2} x_1 + \frac{b}{(2q)^{1/2}} y_1 \right)^2 + \left( \frac{m^{1/2}}{(2q)^{1/2}} y_1 \right)^2 \\ & = \frac{1}{2q} (2q x_1 + b y_1)^2 + \frac{m}{2q} y_1^2 \\ & = 2(qx_1^2 + b x_1 y_1 + h y_1^2). \end{align*}

v=qx12+bx1y1+hy12v = qx_1^2 + bx_1 y_1 + hy_1^2는 양의 정수이다. 이때, 0<R12+2v<2m0 < R_1^2 + 2v < 2m이고, mR12+2vm \mid R_1^2 + 2v이었으므로 R12+2v=mR_1^2 + 2v = m이다.

2v2v는 제곱수 두 개의 합으로 나타남을 보일 것이다. vv를 정확히 홀수 번 나누는 홀수 소수를 pp라고 하자. ppmm을 나누지 않으면, R12m(modp)R_1^2 \equiv m \pmod{p}이므로 (m/p)=1(m/p) = 1이다. 4qv=(2qx1+by1)2+my124qv = (2qx_1 + by_1)^2 + my_1^2이다. pqp \mid q이면, 이 등식으로부터 (m/p)=1(-m/p) = 1이다. pqp \nmid q이면, 어떤 정수 e,fe, f에 대해 e2+mf2e^2 + mf^2pp로 홀수 번 나누어진다. e,fe, f를 적당히 pp로 나누어서 법 pp에 대해 0이 아닌 정수를 얻을 수 있고, 이는 (m/p)=1(-m/p) = 1을 의미한다. 두 경우 모두 (m/p)=1(-m/p) = 1이다. (m/p)=1(m/p) = 1(m/p)=1(-m/p) = 1애 의해 (1/p)=1(-1/p) = 1이고, 따라서 p1(mod4)p \equiv 1 \pmod{4}.

ppmm을 나눈다고 가정하자. R12+2v=R12+12q((2qx1+by1)2+my22)=mR_1^2 + 2v = R_1^2 + \frac{1}{2q} ((2qx_1 + by_1)^2 + my_2^2) = m이므로, ppR1R_1, 2qx1+by12qx_1 + by_1을 나눈다. mm은 제곱 인수를 갖지 않으므로, 양변을 pp로 나누면 12qmpy12mp(modp)\frac{1}{2q} \frac{m}{p} y_1^2 \equiv \frac{m}{p} \pmod{p} 이다. 따라서 y122q(modp),(2q/p)=1y_1^2 \equiv 2q \pmod{p}, (2q/p) = 1이다. 가장 위에서 다루었던 조건인 (2q/p)=1(-2q/p) = 1을 사용하면, (1/p)=1(-1/p) = 1이고 따라서 p1(mod4)p \equiv 1 \pmod{4}.

vv를 홀수 번 나누는 홀수 소수는 모두 법 4에 대해 1과 합동이므로, 2v2v는 제곱수 두 개의 합으로 나타내어진다. 르장드르 세 제곱수 정리가 m3(mod8)m \equiv 3 \pmod{8}인 양의 정수에 대해 증명되었다.

다른 나머지를 가질 때

m1,2,5,6(mod8)m \equiv 1, 2, 5, 6 \pmod{8}일 때에도, 위의 증명과 크게 다르지 않은 방법으로 증명할 수 있다. mm을 나누는 모든 홀수 소수 pp에 대해 (q/p)=1(-q/p) = 1이고, q1(mod4)q \equiv 1 \pmod{4}인 소수 qq를 잡는다. mm이 짝수일 경우, m=2m1m = 2m_1이라고 할 때, (2/q)=(1)(m11)/2(-2/q) = (-1)^{(m_1 - 1)/2}를 추가로 만족시키도록 qq를 잡자. t2=1/q(modp)t^2 = -1/q \pmod{p}인 홀수 tt를 잡고, b2qh=mb^2 - qh = -m을 만족하는 bb를 잡는다. 그리고 좌표변환

R=tqx+tby+mzS=q1/2x+bq1/2yT=m1/2q1/2y\begin{align*} R & = tqx + tby + mz \\ S & = q^{1/2}x + \frac{b}{q^{1/2}} y \\ T & = \frac{m^{1/2}}{q^{1/2}} y \end{align*}

를 이용하면, 같은 방법으로 르장드르 세 제곱수 정리를 증명할 수 있다. 따라서 모든 제곱인수가 없는 양의 정수가 8n+78n + 7 꼴이 아니라면 제곱수 세 개의 합으로 나타낼 수 있다.

참고 문헌

[1] N. C. Ankeny. Sums of three squares. 1957.