르장드르 세 제곱수 정리
라그랑주 네 제곱수 정리와 페르마 두 제곱수 정리는 덧셈적 정수론의 문제로, 정수의 제곱수의 합으로 어떤 정수들을 표현할 수 있는지 기술한다. 라그랑주 네 제곱수 정리는 모든 양의 정수는 정수의 제곱수 네 개의 합으로 나타날 수 있다는 정리이고, 페르마 두 제곱수 정리는 어떤 소수 p가 정수의 제곱수 두 개의 합으로 나타난다는 것과 p=2 또는 p≡1(mod4)가 동치라는 명제이다. 이 포스트에서는 정수의 제곱수 세 개의 합으로 나타나는 정수는 어떤 형태인지 확인할 것이다.
르장드르 세 제곱수 정리는, 4a(8n+7) 꼴이 아닌 양의 정수는 정수의 제곱수 세 개의 합으로 나타난다는 정리이다. 명제의 역은 비교적 자명하다. 4a(8n+7) 꼴의 정수를 세 개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있어, 정수 x,y,z에 대해 x2+y2+z2=4a(8n+7)이라고 가정하자. x,y,z가 2a로 나누어진다는 사실은 법 4에 대해 방정식을 관찰함으로써 어렵지 않게 보일 수 있고, 정수 s=x/2a,t=y/2a,u=z/2a에 대해 s2+t2+u2≡7(mod8)이므로 모순이다. [1]을 따라 르장드르 세 제곱수 정리를 증명하여 보자. 논문에서는 독자가 이차상호성과, 볼록 집합의 격자점에 관한 민코프스키 정리를 알고 있다고 가정한다. 또한 어떤 수가 제곱수 두 개의 합으로 나타내어지는지에 대해서도 알고 있어야 한다.
양의 정수 m이 4a(8n+7)의 꼴이 아니라고 하자. 제곱수들의 합으로 m을 표현하고 싶으므로, m은 제곱인수가 없는 수라고 가정해도 무방하다. 우선 m≡3(mod8)을 가정하고 문제를 해결하여 볼 것이다. m을 소인수분해하여 m=p1p2⋯pr와 같이 쓰자. pi는 소수이다.
다음을 만족하는 소수 q를 생각할 것이다:
- i∈{1,2,…,r}에 대해 (−2q/pi)=+1,
- q≡1(mod4).
(a/b)는 야코비 기호Jacobi Symbol이다. 이러한 소수 q는 등차수열에 관한 디리클레 정리에 의해 존재한다. 4m과 위의 조건을 모두 만족하는 나머지 모임 r을 선택하면 둘은 서로소이므로, 수열 4mt+r,t=1,2,⋯에는 무한히 많은 소수가 존재한다. 소수들 중 하나를 뽑아 q라고 하자.
위의 조건과 m≡3(mod8)임을 이용하면 아래 등식들이 성립함을 보일 수 있다.
1=i=1∏r(−2q/pi)=i=1∏r(−2/pi)(q/pi)=(−2/m)i=1∏r(pi/q)=(−2/m)(m/q)=(−2/m)(−m/q)=(−m/q)
q≡1(mod4)이므로 (−1/q)=1이다. m≡3(mod8) 이므로 (−2/m)=1이다. 따라서 b2≡−m(modq)를 만족하는 홀수 b를 찾을 수 있다. 즉, 다음 방정식의 해가 존재한다.
b2−qh1=−m.
이 등식을 법 4에 대해 고려하면 1−h1≡1(mod4)이므로 h1=4h는 4의 배수이다. 한편, (−2q/pi)=1 조건에 의해 (−2q/m)=1이다. 따라서 t2≡−1/2q(modm)을 만족하는 정수 t가 존재한다.
잠시 다른 이야기로 넘어가서, 다음과 같은 입체 K와 좌표변환을 생각하자.
K:R2+S2+T2<2m
RST=2tqx+tby+mz,=(2q)1/2x+b/(2q)1/2y,=m1/2/(2q)1/2y
(R,S,T) 좌표 공간에서 입체 K는 구이므로 부피는 4/3(2m)3/2이다. 이 좌표변환은 단지 괴상한 계수들을 가진 일차변환이고, 이 변환의 판별식은 m3/2이다. t는 판별식에 영향을 주지 않았으므로 t의 선택은 이 단계에서 크게 영향을 주지 않는다. 따라서 (x,y,z) 좌표 공간에서 입체 K의 부피는 1/3(27/2π)이다. K는 원점 대칭인 볼록 집합이고, 이의 부피는 8보다 크다. 민코프스키 정리의 조건이 완벽하게 들어맞는다.
민코프스키 정리에 의해, K는 (0,0,0)이 아닌 격자점 (x,y,z)를 포함한다. (x1,y1,z1)를 K에 포함되는 정수격자점이라고 하고, R1,S1,T1를 각각 좌표변환을 통해 (x1,y1,z1)에 대응되는 R,S,T 값이라고 하자. 좌표변환에 사용된 식을 그대로 대입하여 보면:
R12+S12+T12=(2tqx1+tby1+mz1)2+((2q)1/2x1+(2q)1/2by1)2+((2q)1/2m1/2y1)2≡t2(2qx1+by1)2+2q1(2qx1+by1)2≡0(modm).
첫 번째 합동은 m에 관한 항을 적당히 빼어줌으로써 성립한다. 마지막 합동은 t의 선택에 의해 성립한다.
S12+T12가 정수로 나타남을 보이자. 그냥 전개하여 보면 얻을 수 있는 결과이다:
S12+T12=((2q)1/2x1+(2q)1/2by1)2+((2q)1/2m1/2y1)2=2q1(2qx1+by1)2+2qmy12=2(qx12+bx1y1+hy12).
v=qx12+bx1y1+hy12는 양의 정수이다. 이때, 0<R12+2v<2m이고, m∣R12+2v이었으므로 R12+2v=m이다.
2v는 제곱수 두 개의 합으로 나타남을 보일 것이다. v를 정확히 홀수 번 나누는 홀수 소수를 p라고 하자. p가 m을 나누지 않으면, R12≡m(modp)이므로 (m/p)=1이다. 4qv=(2qx1+by1)2+my12이다. p∣q이면, 이 등식으로부터 (−m/p)=1이다. p∤q이면, 어떤 정수 e,f에 대해 e2+mf2는 p로 홀수 번 나누어진다. e,f를 적당히 p로 나누어서 법 p에 대해 0이 아닌 정수를 얻을 수 있고, 이는 (−m/p)=1을 의미한다. 두 경우 모두 (−m/p)=1이다. (m/p)=1과 (−m/p)=1애 의해 (−1/p)=1이고, 따라서 p≡1(mod4).
p가 m을 나눈다고 가정하자. R12+2v=R12+2q1((2qx1+by1)2+my22)=m이므로, p는 R1, 2qx1+by1을 나눈다. m은 제곱 인수를 갖지 않으므로, 양변을 p로 나누면 2q1pmy12≡pm(modp)이다. 따라서 y12≡2q(modp),(2q/p)=1이다. 가장 위에서 다루었던 조건인 (−2q/p)=1을 사용하면, (−1/p)=1이고 따라서 p≡1(mod4).
v를 홀수 번 나누는 홀수 소수는 모두 법 4에 대해 1과 합동이므로, 2v는 제곱수 두 개의 합으로 나타내어진다. 르장드르 세 제곱수 정리가 m≡3(mod8)인 양의 정수에 대해 증명되었다.
다른 나머지를 가질 때
m≡1,2,5,6(mod8)일 때에도, 위의 증명과 크게 다르지 않은 방법으로 증명할 수 있다. m을 나누는 모든 홀수 소수 p에 대해 (−q/p)=1이고, q≡1(mod4)인 소수 q를 잡는다. m이 짝수일 경우, m=2m1이라고 할 때, (−2/q)=(−1)(m1−1)/2를 추가로 만족시키도록 q를 잡자. t2=−1/q(modp)인 홀수 t를 잡고, b2−qh=−m을 만족하는 b를 잡는다. 그리고 좌표변환
RST=tqx+tby+mz=q1/2x+q1/2by=q1/2m1/2y
를 이용하면, 같은 방법으로 르장드르 세 제곱수 정리를 증명할 수 있다. 따라서 모든 제곱인수가 없는 양의 정수가 8n+7 꼴이 아니라면 제곱수 세 개의 합으로 나타낼 수 있다.
참고 문헌
[1] N. C. Ankeny. Sums of three squares. 1957.